SISTEMAS LINEALES. Introducción.
En algunas ocasiones se presentan situaciones donde intervienen dos o más funciones lineales, cuyas incógnitas pueden estar relacionadas o no de alguna manera. Para la resolución de estas situaciones muchas veces conviene plantear su solución como un sistema de ecuación debido a la naturaleza de los datos.
Un sistema de ecuación lineal \(2\times2\) es un conjunto de dos ecuaciones lineales, las cuales se deben resolver de manera conjunta, en la forma: $$\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\mx+ny=d\end{array}\right.$$ donde el grado de cada término es lineal, y de esto el nombre. Si algun término es de grado distinto a uno el sistema es no lineal. Si el conjunto de ecuaciones está formado por tres ecuaciones con tres incógnitas se dice que es un sistema \(3\times3\), y así sucesivamente. Lo cual puede ser escrito como, $$\left\{\begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1z=k_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=k_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=k_3 \end{array}\right.$$ para el caso \(3\times3\), siguiente esta misma estructura para los casos mayores a sistemas \(3\times3\).
Resolución de un sistemas lineal.
Resolver un sistema de ecuación es determinar los valores de las incógnitas que hacen verdaderas todas las ecuaciones del sistema, llamado conjunto solución, que en el caso de un sistema dos por dos, o tres por tres representa un punto en el plano o en el espacio de coordenadas.
El conjunto solución si existe, está formado por el o los puntos de intersección de las rectas (ecuaciones). Si la solución del sistema es única, se dice que el sistema es compatible determinado y su representación gráfica son dos rectas que se intersecan en un punto del plano (figura a). Si las soluciones son infinitas se dice que el sistema es compatible indeterminado y su representación gráfica son dos rectas coincidentes, una encima de la otra (figura b). Si no posee solución se dice que es incompatible y su representación gráfica son dos rectas paralelas (figura c).
Métodos de resolución.
Al resolver un sistema de ecuación se puede utilizar diversos métodos para determinar los valores de las incógnitas que hacen verdaderas las ecuaciones del sistema, para esto existen los llamados métodos de resolución, el método a utilizar dependerá de la destreza y/o especificación de cada situación.
Para este momento se presentan los métodos de eliminación por sustitución, por igualación, por reducción, y el método gráfico, aunque cabe destacar que también existen otros métodos más avanzados como son el método matricial; uso de matrices inversas, por determinantes; el método de Gauss y de Gauss-Jordan, entre otros, para un curso de álgebra elemental se estudian los primeros cuatro mencionados, lo demás se ven en grados superiores.
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Método de eliminación por sustitución.
Para resolver un sistema de ecuación lineal dos por dos mediante el método de sustitución, se despeja una de las incognitas en una de las ecuaciones (preferiblemente la de valores enteros positivos pequeños), se sutituye el valor encontrado en la otra ecuación, para luego resolver la ecuación resultante.
Para el caso de situaciones (problema de palabras) su desarrollo se resume en los pasos siguientes:
\(1.~~\)Nombrar variables.
\(2.~~\)Partiendo de los datos escribir ecuaciones.
\(3.~~\)Simplificar (si es posible) y nombrar ecuaciones.
\(~~4.~\) Despejar una variable en una ecuación y sustituir su valor en la otra.
\(~5.~~\)Resolver la ecuación encontrada.
\(6.~~\)Sustituir el valor de la variable encontrada en la ecuación del paso cuatro y resolver para determinar el valor de la otra variable.
En el caso de que se no tenga una situación problemática se debe iniciar en el paso tres. A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos mediante este método.
Ver los ejercicios Ej1 al Ej4 del apartado Ejecicios I en la pestaña superior.
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Método de eliminación por reducción (suma y resta).
El método de reducción consiste en eliminar una de las variables del sistema, al sumar o restar miembro a miembros las ecuaciones. Para esto se debe lograr que los coeficientes de una de las variables en el sistema sean inversos aditivos, usando el axioma de las ecuaciones, para resolver en la forma siguiente.
1. Nombrar variables.
2. Escribir ecuaciones y simplificarlas si es posible.
3. Escribir una de las variables del sistema con coeficientes inversos aditivos.
4. Reducir el sistema sumando miembro a miembro las ecuaciones.
5. Resolver para la variable no eliminada y luego para la otra variable mediante sustitución.
Ver los ejercicios Ej5 al Ej7 del apartado Ejercicio I
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Método de eliminación por igualación.
El método de igualación consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones, para luego igualar sus resultados y resolver la ecuación encontrada. Cuando se resuelve una situación mediante este método su desarrollo es como sigue:
1. Nombrar variables.
2. Escribir ecuaciones y simplificarlas si es posible.
3. Nombrar ecuaciones.
4. Despejar una de las variables en ambas ecuaciones.
5. Igualar y resolver. Igualar los resultados encontrados para la variable que se ha despejado y resolver la ecuación encontrada.
6. Sustituir el valor de la variable encontrada en la ecuación del paso cuatro y resolver para determinar el valor de la otra variable.
Ver los ejercicios Ej8 al Ej10 del apartado Ejercicio I
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Entradas de un teatro. En cierto día en un teatro asisten 280 personas. Si el teatro vende dos tipos de entradas, la normal a \($300\) y la premium a \($500\) y por concepto de entradas se recaudó \($104~000.\) Determinar cuántas boletas de cada tipo se vendieron en ese día.
Trabajando en la granja. Un ganadero compró cuatro ovejas y siete cabras por \($51 400\). Un mes más tarde, a los mismos precios, compró ocho ovejas y nueve cabras por \($81 800.\) Determinar el precio de cada oveja y de cada cabra.
Contando monedas. Una persona tiene \($3~950\) en monedadas de \($25\) y de \($10\). Si tiene un total de \(200\) monedas. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?
Juego de números. El cociente de dos números es cuatro y su diferencia es treinta y nueve. Determinar los números.
Rapidez de un río. Un bote se desplaza río abajo \(30Km\) en una hora y río arriba \(12km\) en una hora. Suponiendo la rapidez del bote y del río como constantes, determinar ambas rapideces.
Perímetro de un terreno. La medida del contorno de un terreno rectangular es \(72m.\) Si el largo se disminuye en \(2m\) y el ancho se aumenta en \(4m,\) el área se aumenta en \(52m^2\) Determinar las dimensiones del terreno.
Problema de mezcla. Un tanque de cien galones se llena de agua en la que se disuelven \(50lb\) de sal. Un segundo tanque contiene \(200\) galones de agua con \(75lb\) de sal. ¿Cuánto debe sacarse de ambos tanques y mezclarse para obtener una solución de \(90\) galones con \(4/9lb\) de sal por galón?
Resolver mediante el método de igualación el sistema $$\left\{\begin{array}{l} x+6y=4~~~~~~~~\textcolor {navy}{\fbox{$1$}}\\ 2x+3y=0~~~~~~\textcolor {navy}{\fbox{$2$}} \end{array}\right.$$
Precio de la gasolina. El precio de la gasolina es establecido por el Ministerio de Industria y Comercio semanalmente de acuerdo con la ley general de hidrocarburos (ley 112-00 del 29 de noviembre del 2000). Para cierta semana del año los precios de las gasolinas fueron \($210\) para el tipo regular y \($236\) para el premium. En una estación de gasolina en un día de esta semana se vendió un total de \(9~200\) galones de gasolina, para un monto de \($2~015~200\). Determinar la cantidad de galones de cada tipo se vendieron en este día.
Solución:
Solución salina. La salmuera es agua con una concentración de sal \((NaCl)\) superior al \(5\%\) disuelta. Existen mares y lagos salados en donde no hay vida por el exceso de sal y de donde se extrae la salmuera, principalmente para obtener su sal evaporando el agua en salinas (lugar donde el hombre deja evaporar agua salada, para dejar solo la sal, poder secarla y recogerla para su venta). Por extensión, también se llama salmuera a disoluciones altamente concentradas de otras sales (por ejemplo, en desalinización). En refrigeración recibe el nombre de salmuera toda solución acuosa que se utiliza como medio de transferencia de calor cuando la temperatura es inferior a \(0°C\). Se utilizan tres tipos de salmueras. En cierta escuela para una clase de química en el laboratorio se tienen dos soluciones de salmuera, una contiene \(5\%\) de sal y la otra contiene 2\(0\%\) de sal. Determina cuántos mililitros de cada solución debe mezclarse para obtener un litro de solución que contenga \(14\%\) de sal.